17/11/2018

Teoría de Conjuntos

Que es Un Conjunto

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.

Tipos de Conjuntos

Conjunto Universal

En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal.

 Ejemplo

Conjunto Unión

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales.

Ejemplo

Conjunto Intersección 

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.

Ejemplo

Diferencia de Conjuntos

En teoría de conjuntos, la diferencia de dos conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto. 

Ejemplo

Diferencia Simétrica de Conjuntos 

En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

Ejemplo

Complemento  de Un Conjunto

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. 

Ejemplo

Cardinal de un Conjunto

El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto ${\displaystyle A\,}$.

Ejemplo:

Conjuntos

10/11/2018

Proposiciones y Valores de Verdad 

Proposición:

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno de los valores de verdad, que pueden ser Verdadero(V) o falso (F) pero no ambos valores a la vez, se les representa por las letras del alfabeto desde la p en Adelante. 

Expresiones No proposicionales 

Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de la verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos, imperativos y opiniones.

•  ¿Qué día es hoy?
• ¿Por qué no estas en el colegio?
•  Uf! ¡Qué calor!
• No sé si vendrán al viaje.

Enunciados Abiertos:

Es un enunciado que da información que no se puede calificar como verdadera o falsa porque el sujeto no esta especificado, por lo tanto, no tiene valor de verdad. 

Ejemplo: 

• X+4=8 
  76-Z=98

Clasificación de las Proposiciones 

Proposición Simple 

Son aquellas proposiciones a las que se puede representar por una sola variable, es un enunciado que da solamente una información verdadera o falsa.

Ejemplo:

El 9 y el 27 son factores del 81.

Esa caja es de madera.

Proposición Compuesta

Es cuando una proposición consta de 2 o mas enunciados simples y por ello no da mas de una información. Esto explica que en la proposición compuesta la relación entre el sujeto y el objeto no se produzca en forma general.

Ejemplo: 

Los aparatos tecnológicos son negros, blancos o grises.

Si tengo hambre pues cocino.

Conectivos Lógicos

Conjunción 

La conjunción es un operador, que actúa sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son verdaderas.

En términos mas simples, será verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.

Disyunción

La disyunción es un operador lógico que actúa sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

En términos mas simples, será verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Condicional o Implicación 

El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Variaciones de la Condicional

Las variaciones de la condicional (p→q) son:

 La proposición Directa(p→q)

p→q: Si los ordenadores son inteligentes, entonces los seres humanos son tontos.

 la recíproca (q→p):

q→p Si los seres humanos son tontos, las computadoras son inteligentes.

 la inversa (¬p→¬q): 

¬p→¬q Si los ordenadores no son inteligentes, entonces los seres humanos no son tontos.

 la contra recíproca (¬q→¬p):

¬q→¬p Si los seres humanos no son tontos, entonces las computadoras no son inteligentes.

La tabla de verdad de la condicional y sus variaciones se ejemplifican en el siguiente cuadro, donde el 1 corresponde a valores de verdad y el 0 a valores de falsedad.

La Negación 

La negación operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Bicondicional o Doble Condicional 

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona dando el valor de verdad cuando ambos valores son iguales y dando el valor de falsedad cuando ambos valores son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

 Tablas de la Verdad 

Leyes de Morgan 

Las leyes de Morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica, creada por augustus de Morgan en 1806 - 1871. Las leyes de Morgan son muy útiles cuando se quieren encontrar equivalentes para proposiciones que se obtienen por negación de proposiciones compuestas.

Ejemplo: 

Operaciones Proposicionales 

las operaciones proposicionales simples de las cuales se conocen su valor de verdad, realizar operaciones es determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.  

Fecha: 13/10/18

Interpretación de Información 

• Lectura e Interpretación de Gráficas 

Las gráficas son representación abstractas de relaciones entre 2 o mas variables, es muy importante en cualquier trabajo de investigación poder interpretar todo tipo de gráficas, dado que su interpretación se deduce directamente del dibujo que acompaña el texto, teniendo incluso un cierto parecido. 

Existen diferentes tipos de gráficas en las cuales tenemos: 

1. Gráficas Circulares
2. Gráficas de barras
3. Gráficas de lineas
4. Gráficas Radiales
5. Pictogramas 

• Gráficas Circulares

Un gráfico circular o gráfica circular, también llamado "gráfico de pastel", "gráfico de tarta", "gráfico de torta" o "gráfica de 360 grados", es un recurso estadístico que se utiliza para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de una gráfica circular suele ser de más de cuatro.

La fórmula para calcular la amplitud del sector de un diagrama de sectores es la siguiente:

${\textstyle Amplitud\ del\ sector\ (^{\circ })={360^{\circ }\times h_{i}}}$

Donde se multiplica la amplitud completa (360º), por la frecuencia relativa (h_i) de una tabla de frecuencias

Ejemplo: 

• Gráficas de Barras 

Un gráfico de barras es una forma de resumir un conjunto de datos por categorías. Muestra los datos usando varias barras de la misma anchura, cada una de las cuales representa una categoría concreta. La altura de cada barra es proporcional a una agregación específica (por ejemplo, la suma de los valores de la categoría que representa). Las categorías podrían ser desde grupos de edad a ubicaciones geográficas.

Ejemplo:  

• Gráficas de Lineas 

Los gráficos de líneas muestran una serie como un conjunto de puntos conectados mediante una sola línea. Los gráficos de líneas se usan para representar grandes cantidades de datos que tienen lugar durante un período continuado de tiempo. Un gráfico de líneas requiere al menos dos puntos para dibujar una línea. Si el conjunto de datos solo tiene un punto de datos, el gráfico de líneas se mostrará como un marcador de punto de datos único.

Ejemplo:

• Gráficas Radiales

También conocido como: Gráfico de Araña, Gráfico de Red, Gráfico Polar y Gráfico de Estrella. Los gráficos radiales son una forma de comparar múltiples variables cuantitativas. Esto los hace útiles para ver qué variables tienen valores similares o si hay valores atípicos entre cada variable. Los gráficos radiales también son útiles para ver qué variables son altas o bajas dentro de un conjunto de datos, haciéndolos ideales para mostrar el rendimiento.

Ejemplo:

• Pictogramas 

Un pictograma es un signo icónico dibujado y no lingüístico, que representa figurativamente, de forma más o menos realista, un objeto real, o un significado. En agrupaciones es precursor o antecedente de los sistemas de escritura propiamente dichos. Las historietas o cómics, y los chistes gráficos sin texto, son también pictogramas. 

Con su nombre se suelen denominar los signos de los sistemas no alfabéticos basados en dibujos significativos.

Un pictograma debería ser enteramente comprensible con solo tres miradas.
En el diseño de un pictograma deberían suprimirse todos los detalles superfluos.

En la actualidad, es entendido como un signo claro y esquemático que sintetiza un mensaje o información sobrepasando la barrera del lenguaje, y con el objetivo de informar y/o señalizar.

Ejemplo:

Fecha  22/09/18  

Estrategia: Resolver una Ecuación de Primer Grado 

Para saber como resolver problemas a través de esta estrategia, es importante definir que es una ecuación.

Ecuación: Es un enunciado que establece que dos expresiones son iguales.

La estrategia de utilizar una ecuación de primer grado es de suma importancia ya que múltiples problemas de las ciencias se plantean en términos de una ecuación.

Ejemplo:

En un circo el precio de admisión es de Q25.00 para adultos y Q10.00 para niños. Si el número total de espectadores fue 397 y la recaudación de Q5,680.00 ¿Cuantos adultos y cuantos niños asistieron?

(Cantidad de niños) (Costo del boleto de niños) + (Cantidad de adultos) (Costo del boleto de adultos) = (Total Recaudado)

Entonces:

Q25.00 (x) + Q10.00 (y) = Q5,680.00

X + Y = 397
397 – Y = X

25 (397 – Y) + 10 Y = 5680
9925 – 25 Y + 10 Y = 5680
-25Y + 10Y = 5680 – 9925
-15Y = -4245
Y = -4245 / -15
Y = 283

283 + 114 = 397
X = 114

Solución:

Al  circo ingresaron 283 niños y 114 adultos.

Fecha: 08/09/18

Estrategia: Proporcionalidad o Porcentaje

La presente estrategia es cuestión de analizar lo que el problema esta pidiendo y así poder buscar el resultado solicitado. Considero que esta estrategia es una de las más sencillas de entender el problema, quizás establecer o plantear la proporción no sea tan sencilla pero el entender que piden muchas veces es lo que nos complica resolver el problema.

Razón

Es el resultado de comparar dos cantidades y será siempre un número real.

Se la razón; x:y (se lee x es a y) donde a x le llamaremos antecedente, y a y consecuente.

x:y -- x/y -- Antecedente/ consecuente

Ejemplo:

3:5 -- 3/5 -- 0.6 es el resultado del número real.

Proporción

Se le domina proporción a la igual de dos razones. Una proporción se puede escribir de las formas:

a:b : c:d  -- Que se lee a es b como c es a d --- a/b = c/d

Ejemplo:

2/5 = 4/10 y leemos 2 es a 5 como 4 es a 10

Porcentaje

Un porcentaje es una razón en la cual el consecuente es 100. La razón representa un porcentaje y se puede escribir así:

Antecedente / consecuente = P/100 = P%

Ejemplo:

8/100 = 0.008 = 8%

Propiedad de la igualdad de dos razones.

Fecha: 18/08/18

Estrategia: Trabajar Hacia Atrás

Esta estrategia consiste en que, a partir del dato final o la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. se precede a recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos conocidos a la solución. 

Ejemplo

Estrategia: Hacer un Diagrama o Figura

La estrategia de hacer una figura o diagrama nos facilita el entendimiento del problema, donde podemos dibujar, cuadros, círculos, o cualquier otra figura que nos ayude a entender el problema y darle solución.

Ejemplo: 

Las instrucciones para un trabajo de madera especifican que se requieren 3 piezas de dicho material. La más larga de ellas debe tener el doble de longitud que la del tamaño medio y la más corta debe ser 10 pulgadas más corta que la mediana. Mario Andrés posee una pieza de 70 pulgadas que quiere utilizar. ¿De qué longitud debe ser cada pieza?

Procedimiento con los 4 pasos de polya

Comprender el problema: encontrar las longitudes de los 3 trozos de madera, cumpliendo con todos los requisitos establecidos en el problema.

Formular un plan: estrategia a utilizar hacer un diagrama o figura

Llevar a cabo el plan:

Más grande: 2x                                                     2x+x+x-10=70
Mediana: X                                                             4x-10=70
Pequeña: x-10                                                         4x=80
                                                                                  X=20

Revisar y comprobar:

 las longitudes de cada uno de los trozos de madera son de 40, 20 y 10 pulgadas.
2(20)= 40
20= 20
20-10= 10             

Estrategia: Resolver un Problema Equivalente

Varios problemas se pueden resolver al visualizar un problema equivalente. Esta Estrategia consiste en comparar el problema con otro parecido, cuya solución se conoce o es mas fácil de resolver y relacionarlo con el nuevo problema.

Ejemplo: 

Recorrer en forma continua los 9 puntos de la siguiente figura, sin omitir ni repetir ninguno, utilizando únicamente 4 rectas.

Procedimiento con los 4 pasos de polya

Comprender el problema: lograr unir los 9 puntos de la figura, pero tomando en cuenta que no se puede repetir ninguno y se deben de trazar únicamente 4 rectas para poder unir todos los puntos.

Formular un plan: estrategia a utilizar resolver un problema equivalente.

Llevar a cabo el plan:

Revisar y comprobar:

 Al momento de trazar las 4 rectas se puede lograr ver que el resultado era el esperado, que ninguna se repetía y todos los puntos estaban conectados.