17/11/2018

Teoría de Conjuntos

Que es Un Conjunto

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.

Tipos de Conjuntos

Conjunto Universal

En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal.

 Ejemplo

Conjunto Unión

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales.

Ejemplo

Conjunto Intersección 

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.

Ejemplo

Diferencia de Conjuntos

En teoría de conjuntos, la diferencia de dos conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto. 

Ejemplo

Diferencia Simétrica de Conjuntos 

En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

Ejemplo

Complemento  de Un Conjunto

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. 

Ejemplo

Cardinal de un Conjunto

El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto ${\displaystyle A\,}$.

Ejemplo:

Conjuntos

10/11/2018

Proposiciones y Valores de Verdad 

Proposición:

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno de los valores de verdad, que pueden ser Verdadero(V) o falso (F) pero no ambos valores a la vez, se les representa por las letras del alfabeto desde la p en Adelante. 

Expresiones No proposicionales 

Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de la verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos, imperativos y opiniones.

•  ¿Qué día es hoy?
• ¿Por qué no estas en el colegio?
•  Uf! ¡Qué calor!
• No sé si vendrán al viaje.

Enunciados Abiertos:

Es un enunciado que da información que no se puede calificar como verdadera o falsa porque el sujeto no esta especificado, por lo tanto, no tiene valor de verdad. 

Ejemplo: 

• X+4=8 
  76-Z=98

Clasificación de las Proposiciones 

Proposición Simple 

Son aquellas proposiciones a las que se puede representar por una sola variable, es un enunciado que da solamente una información verdadera o falsa.

Ejemplo:

El 9 y el 27 son factores del 81.

Esa caja es de madera.

Proposición Compuesta

Es cuando una proposición consta de 2 o mas enunciados simples y por ello no da mas de una información. Esto explica que en la proposición compuesta la relación entre el sujeto y el objeto no se produzca en forma general.

Ejemplo: 

Los aparatos tecnológicos son negros, blancos o grises.

Si tengo hambre pues cocino.

Conectivos Lógicos

Conjunción 

La conjunción es un operador, que actúa sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son verdaderas.

En términos mas simples, será verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.

Disyunción

La disyunción es un operador lógico que actúa sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

En términos mas simples, será verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Condicional o Implicación 

El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Variaciones de la Condicional

Las variaciones de la condicional (p→q) son:

 La proposición Directa(p→q)

p→q: Si los ordenadores son inteligentes, entonces los seres humanos son tontos.

 la recíproca (q→p):

q→p Si los seres humanos son tontos, las computadoras son inteligentes.

 la inversa (¬p→¬q): 

¬p→¬q Si los ordenadores no son inteligentes, entonces los seres humanos no son tontos.

 la contra recíproca (¬q→¬p):

¬q→¬p Si los seres humanos no son tontos, entonces las computadoras no son inteligentes.

La tabla de verdad de la condicional y sus variaciones se ejemplifican en el siguiente cuadro, donde el 1 corresponde a valores de verdad y el 0 a valores de falsedad.

La Negación 

La negación operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Bicondicional o Doble Condicional 

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona dando el valor de verdad cuando ambos valores son iguales y dando el valor de falsedad cuando ambos valores son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

 Tablas de la Verdad 

Leyes de Morgan 

Las leyes de Morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica, creada por augustus de Morgan en 1806 - 1871. Las leyes de Morgan son muy útiles cuando se quieren encontrar equivalentes para proposiciones que se obtienen por negación de proposiciones compuestas.

Ejemplo: 

Operaciones Proposicionales 

las operaciones proposicionales simples de las cuales se conocen su valor de verdad, realizar operaciones es determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.